MEDIDAS DE TENDENCIAS
Las medidas de tendencia son valores que se ubican al centro de un conjunto de datos ordenados según su magnitud. Generalmente se utilizan 4 de estos valores también conocidos como estadígrafos, la media aritmética, la mediana, la moda y al rango medio.
La media aritmética es la medida de posición utilizada con más
frecuencia. Si se tienen n valores de observaciones, la media
aritmética es la suma de todos y caca uno de los valores dividida entre el
total de valores: Lo que indica que puede ser afectada por los valores
extremos, por lo que puede dar una imagen distorsionada de la información de
los datos.
La Mediana, es el valor que ocupa la posición central en un conjunto de
datos, que deben estar ordenados, de esta manera la mitad de las observaciones
es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana, resulta muy
apropiada cuando se poseen observaciones extremas.
La Moda es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor
frecuencia. No depende de valores extremos, pero es más variables que la media
y la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
es el símbolo de la media aritmética.
La medidas de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.
La medidas de centralización son:
Moda
Cálculo de la moda para datos agrupados
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Ejemplo
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.
Ejemplo
Mediana
Cálculo de la mediana
Cálculo de la mediana para datos agrupados
Ejemplo
Media aritmética
Ejemplo
Media aritmética para datos agrupados
Ejercicio de media aritmética
Propiedades de la media aritmética
Observaciones sobre la media aritmética
Cálculo de la moda para datos agrupados
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Ejemplo
| fi | |
|---|---|
| [60, 63) | 5 |
| [63, 66) | 18 |
| [66, 69) | 42 |
| [69, 72) | 27 |
| [72, 75) | 8 |
| 100 |
Ejemplo
| fi | hi | |
|---|---|---|
| [0, 5) | 15 | 3 |
| [5, 7) | 20 | 10 |
| [7, 9) | 12 | 6 |
| [9, 10) | 3 | 3 |
| 50 |
Cálculo de la mediana
Cálculo de la mediana para datos agrupados
Ejemplo
| fi | Fi | |
|---|---|---|
| [60, 63) | 5 | 5 |
| [63, 66) | 18 | 23 |
| [66, 69) | 42 | 65 |
| [69, 72) | 27 | 92 |
| [72, 75) | 8 | 100 |
| 100 |
Ejemplo
Media aritmética para datos agrupados
Ejercicio de media aritmética
| xi | fi | xi · fi | |
|---|---|---|---|
| [10, 20) | 15 | 1 | 15 |
| [20, 30) | 25 | 8 | 200 |
| [30,40) | 35 | 10 | 350 |
| [40, 50) | 45 | 9 | 405 |
| [50, 60 | 55 | 8 | 440 |
| [60,70) | 65 | 4 | 260 |
| [70, 80) | 75 | 2 | 150 |
| 42 | 1 820 |
Observaciones sobre la media aritmética
| xi | fi | |
|---|---|---|
| [60, 63) | 61.5 | 5 |
| [63, 66) | 64.5 | 18 |
| [66, 69) | 67.5 | 42 |
| [69, 72) | 70.5 | 27 |
| [72, ∞ ) | 8 | |
| 100 |
La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas ycuantitativas.
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4
Li es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase modal es la que tiene mayor altura.
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dospuntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .
.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
100 / 2 = 50
Clase modal: [66, 69)
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre elnúmero total de datos.
es el símbolo de la media aritmética.
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
1 La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la mediade la misma igual a cero.
Las suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2 La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.
3 Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritméticaqueda aumentada en dicho número.
4 Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritméticaqueda multiplicada por dicho número.
1 La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2 La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
3 La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.
4 La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.
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